复杂管网数学模型及其分析方法

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简介： 这里将介绍基于管网基本定理的复杂管网数学模型分析法，该方法也称节点法。利用该方法可以将复杂管网的邻接矩阵将简单管道与复杂管网的分析方法统一起来。同时给出非线性矩阵方程的迭代解法初始参数的计算方法。
关键字：非线性管网 节点法 水力分析

复杂管网分析方法有多种，近年新出现的有图论法和有限元法^[3][4]。两种方法各有所长，图论法将复杂的管网处理为相应的“网络图”，并建立相应的数学模型以适用范围各不相同管网水力计算。有限元法通过局部的管元分析得出管网的数学模型。

管网水力分析的基础是管段的水力学模型。常用的数学模型是采用Darcy-Weisbach 公式和 Hazen-Williams 公式。这两个公式原用于管道沿程水力损失的计算，公式来源于理论研究和实验得到的结果。这两个公式的应用基础是大量实验统计得出的参数。Darcy-Weisbach 公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain 实验公式和 Moody 图表来求出沿程损失系数f^[2]。文献[1]论述了水力模型的基本形式和管网中管件的定理，该理论统一了局部损失和沿程损失的数学模型。这里进一步讨论在复杂管网中，基于该定理并利用节点分析方法给出Kirchhoff 第一定律和第二定律的表示方法及其应用。

1. 管网模型

1.1.   管道模型

按文献[1]介绍的：

定理1：任何管件的组合，其组合后的管件，以管件断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂函数的形式。

   （1）

式中：a, b为不会等于零的实系数；h_f为管段的水头损失；q是管段内的流量。

换言之，对于管段两端，记上游端水头为H₂，下游端水头为H₁，即：

       （2）

1.2.   复杂管网模型

对于复杂管网，这里所说的复杂是指有多环、多水源、多出流口的管网，对于这种管网可以用与一般管道同样形式的矩阵公式来表示。

记：

式中： H为管段的节点水头矢量；q为管网的管段流量；n为管网中的管段数量。

为了有利于统一表达式，记管段两端的水头为H₁，H₂ 。

对于简单管段有：

  （4）

容易看出这种变形为采用线性方程组提供了方便。当第t次计算时，令：

        （5）

式中：   管段在第t-1时的流量，在第t-1次计算时它是已知量； 是管段在第t时的假定流量。

q是有方向的矢量，其方向是由管段端点2指向端点1。换言之，端点2水头大于端点1的水头，这样水才能从端点2流到端点1，流量的值才可能是正值。从数学的角度理解，假定H₁，H₂，q为不为零的实数，H₁，H₂前面的正负号可以表示为管段的端点i在流量指向的方向。

对于如图1所示的管网，可以用管网邻接矩阵A表示。

图1.      一个简单复杂管网图

对于图1按节点及管段编号来关联，行是管段，列是节点。

①节点与1管段、2管段相连接，因假定管段的水流方向是由节点编号大端流向节点编号小端。①节点的邻接向量是。同理：②节点的邻接向量是，易知：

容易得到矩阵：

通常将以上矩阵称为管网的邻接矩阵，

2. 节点分析法

如令：

图1中与矩阵等式

   （6）

对应的是以下矩阵：

           （7）

对①节点有：

对②节点有：

表明矩阵等式可以表示节点流量守恒定律。

根据流量守恒定律和能量守恒定律，有的学科也称为Kirchhoff 第一定律和第二定律。管网系统的两个定律可表达为：

           （8）

这也是节点分析法的关键方程组。

其中：

         （9）

式中： A_c   节点与管段的邻接矩阵；A_f  节点与已知水头的邻接矩阵；H_c 管段的节点水头矢量；H_f   已知节点水头矢量。

而且，

是式（4）在管网中的矩阵表达。

以图1的管网为例有：

而且，

采用计算机程序自动搜索分析，容易得到以上矩阵。同时，用矩阵表示的是：

=（10）

矩阵运算后可表示成以下方程：

      （11）

其中H₆是已知水塔的水头。式（10）表明矩阵方法可以表示节点能量守恒定律。

以上分析虽然是针对图1的实例进行，但没有设立管网联接及出流的特殊性条件，故所介绍的分析结果具有一般性。显然，这种结果也可以通过采用“图论法”和有限元法进行分析得到。

3. 方程的解法

矩阵方程（8）是复杂管网的数学模型，对此模型的求解可以得到管网的水力学参数。如将Y(q)看作一个常数，该方程就是一个线性方程组，可将此线性方程组称为非线性方程（8）的伴随方程。注意到管网在第t-1时的流量为q(t-1)，在第t-1次计算时Y(q(t-1))是已知量；q(t)是管网在第t时的流量。

实际上是在迭代运算中令：

Y(q(t)) = Y(q(t-1))

因大多数管网它们的管段内流速v都在1~3 m/s之内。经验证明这样种情况下，令流速v=1作为t=0的初值比较合理。这时，矩阵方程（8）实际迭代时t为：

式中：A_i为i管段的断面面积；n为管网的管段数。

当在t_e时，迭代中，当 时，认为方程解为：  i=1,…,n ；k=1,…,m；m为管网的节点数。

其中， 为一相对小的数，工程上，一般取就行了。的值越小计算机的运算时间就越长。

由方程（8）变形得到方程：

      （12）

式中，H_c    管段的节点水头矢量，是待求的未知量；H_f 为已知节点水头矢量。q=是管段内的流量矢量，是待求的未知量；d是管网的出水量矢量，是已知量。

用线性方程组的解法容易经3~4次迭代得到方程（12）的解。

4. 结论

复杂管网可以用矩阵的形式表示，并可用节点法建立其矩阵方程。其方程为：

      （12）

此方程是一个非线性方程，解此方程可用迭代法进行计算。迭代的初始参数及计算方法如下：

当 时，认为方程解为：  i=1,…,n ；k=1,…,m；n为管网的管段数，m为管网的节点数。

[1] 李鸣，管网基本定理及其数学模型[J]，节水灌溉，2001  (1)8-11

[2] Haestad Methods, Thomas M. Walski, Advanced Water Distribution Modeling and Management [M], Haestad Press, 2003

[3] 石 继，张丰周，魏永曜，图论法用于供水管网水力计算的研究 [J]，水利学报，1999  (2)

[4] 康跃虎，微灌系统水力学解析和设计[C]，陕西科学技术出版社，1999.4

［作者简介］李鸣，男，48 岁，高级工程师。感谢长江水利委员会刘东同志对本文早期研究工作的支持。