卵形曲线坐标计算方法

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简介： 在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。
关键字：卵形曲线 坐标 计算

一、概念

卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线坐标计算原理

根据已知的设计参数，求出包括卵形

曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。

三、坐标计算

以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：

（图一）

已知相关设计数据见下表：

主点

桩号

坐          标

（m）

切线方位角

（θ）

X

Y

 ° ’ ”

ZH

AK0+090

9987.403

10059.378

92  17  26.2

HY1

AK0+160

9968.981

10125.341

132  23  51.6

YH1

AK0+223.715

9910.603

10136.791

205  24  33.6

HY2

AK0+271.881

9880.438

10100.904

251  24  18.5

YH2

AK0+384.032

9922.316

10007.909

337  04  54.2

HZ

AK0+444.032

9981.363

10000.000

0  00  00

1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算

A1==59.161

卵形曲线参数：

A²=（HY₂-YH₁）×R₁（小半径）

×R₂（大半径）÷（R₂-R₁）

=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）

= 7224.900

A2==84.999

A3==67.082

2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算

卵形曲线长度L_F由已知条件知：L_F=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166

卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L_S，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）

L_M=L_S（YH1至HZ'的弧长）=A²÷R1

=7224.900÷50=144.498

∴HZ'桩号=YH1+L_M=223.715+144.498=368.213

L_E=HY2至HZ'的弧长

=A²÷R2=7224.900÷75=96.332

或L_E= L_M-L_F=144.498-48.166=96.332

卵形曲线长度L_F=L_M-L_E=144.498-96.332=48.166（校核）

HY2=HZ'-L_E=368.213-96.332=271.881（校核）

由上说明计算正确

3．HZ'点坐标计算（见图二）

                     （图二）

①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：

Xn=[(-1)ⁿ⁺¹×L^4n–3]÷[(2n-2)!×2^2n–2×(4n-3)

×(RLs)^2n–2]

Yn=[(-1)ⁿ⁺¹×L^4n–1]÷[(2n-1)!×2^2n–1×(4n-1)

×(RLs)^2n–1]

公式中符号含义：

n — 项数序号(1、2、3、……n)

！— 阶乘

R — 圆曲线半径

Ls — 缓和曲线长

②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：

X=L-L⁵÷[40（RL_S）²]+L⁹÷[3456（RL_S）⁴]–L¹³÷[599040（RL_S）⁶]+L¹⁷÷[175472640（RL_S）⁸]- L²¹÷[7.80337152×10¹⁰（RL_S）¹⁰]   （公式1）

Y=L³÷[6（RL_S）] - L⁷÷[336（RL_S）³]+L¹¹÷[42240（RL_S）⁵] - L¹⁵÷[9676800（

RL_S）⁷]+L¹⁹÷[3530096640（RL_S）⁹] - L²³÷[1.8802409472×10¹²（RL_S）¹¹]      （公式2）

公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长

HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，

L=L_S=HZ'-YH1

=368.213-223.715=144.498

将L=L_S 代入公式（1）、（2）得：

 X=117.1072    Y=59.8839  

L对应弦长C=√（X²+Y²）=131.5301

偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”

* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。

缓和曲线切线角：

a2=90L²÷（πK）

=90×144.498²÷(π×7224.900)

=82°47’28.5”

* K为卵型曲线参数，本例中

K= A²=7224.900

Q3=180-a1-（180-a2）

=180-27°05’00.2”-（180-82°47’28.5”）

=55°42’28.3”

∴YH1"HZ’切线方位角（M"B）

=205°24’33.6” +Q3

=205°24’33.6”+55°42’28.3”

=261°07’01.9”

∴HZ’：AK0+368.213坐标：

X=X_YH1+Ccos261°07’01.9”=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293

Y=Y_YH1+Csin261°07’01.9”=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838

4．HZ’：AK0+368.213点的切线方位角（D"B）计算

D"B方位角：

 =205°24’33.6”+Q2

=205°24’33.6”+82°47’28.5”

=288°12’02.1”

∴B"D切线方位角：
=288°12’02.1”-180

=108°12’02.1”

5．计算卵型曲线上任意点坐标(以HZ’:AK0+368.213作为推算起点)

①计算HY2:AK0+271.881的坐标

∵L= HZ’- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式1、2得:X=92.434   Y=20.022

偏角Q= arctg（Y÷X）=12°13’19.61”    对应弦长C=√（X²+Y²）=94.578

坐标：

X=9890.293+94.578cos(108°12’02.1”-12°13’19.61”)

=9880.442

Y=10006.838+94.578sin(108°12’02.1”-12°13’19.61”)

=10100.902

②与设计值比较:

rX=X计算值-X设计值=9880.442-9880.438

=+0.004

rY=Y计算值-Y设计值=10100.902-10100.904

=-0.002 mm

同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。由此可见，采用此方法计算求得的坐标与设计院通过电脑程序计算的结果相差很小，本人多年来在高速公路多条卵型曲线采用此方法计算其坐标，其计算精确，完全可以作为包括高速公路在内的卵型曲线坐标计算。