中职数学三角函数的几点教学方法

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　  摘要：假如中职数学三角函数教学仍然采取与普通高中一样的教学模式，那么结果只能是让越来越多的学生对三角函数更加畏惧、更加厌恶，直至最后放弃。如何提高三角函数教学效果现已成为中职数学教学的一个难题。本文探讨了中职数学三角函数的几个有效的方法。   　　关键词：中职数学；三角函数；生活化；口诀化；图形化       中图分类号：G712   文献标识码：A   文章编号：1005-1422（2014）07-0093-03       三角函数是中职数学的一个重要基础内容，其特点是概念多、公式多、性质多，学习难度较大，使得不少中职学生面对三角函数都感觉无从入手。作为中职数学教师，应做到化深奥为浅显，让数学内容能够浅入浅出，使学生较容易接受和理解数学的基础知识，对数学产生更浓厚兴趣。
　　一、概念教学生活化   　　在任意角的概念教学中，书本内容选用了摩天轮及扳手这两个实例来讲解，但由于一些生活上的限制，并不是所有学生都能对这两个实例有所体验的。对此，教师在引入概念时，实例设计需要紧贴生活。下面介绍任意角的概念的教学设计： 　　问题1：初中是如何定义角的？ 　　（1）从一个点出发的两条射线构成的几何图形。（学生回答） 　　此定义为角的静态定义，它是从图形形状来定义角的。（教师点评） 　　（2）平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置，所形成的图形。（学生回答） 　　此定义为角的动态定义，但射线旋转的绝对量不能超过360度。（教师点评） 　　通过对初中阶段角的定义的复习，为角的概念的推广做好铺垫。 　　师：请同学们拧开一下桌上的矿泉水的瓶盖，然后再拧紧。生：按要求完成。 　　师：同学们，在这一过程中瓶盖的旋转方向有什么区别？ 　　生：拧开的时候，瓶盖是按逆时针方向旋转；拧紧的时候，瓶盖是按顺时针方向旋转。 　　师：有没有某一矿泉水瓶的瓶盖旋转方向恰好相反的呢？ 　　生：没有，都是一样的。（经过议论后回答） 　　师：为什么会出现这样的现象呢？（教师随后作出解释） 　　通过这一段教学设计，激发同学的兴趣，揭示出现象源于生产的标准化，从而进一步延伸到生活其它方面。随后引出正角、负角的概念，并强调正角与负角的区别主要在于旋转的方向。另外，还特别指出，当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角。 　　师：请大家再注意一下瓶盖上的图标，在这个拧开拧紧的过程中，图标旋转了多少度？ 　　生：不知道，反正旋转了几圈。（此时，学生对角的概念还是停留在初0°~360°中范围内） 　　师：显然，初中阶段学习的角的范围在这里就不再适用了。除此外，仅用0°~360°范围内的角，也已经不能反映或解决生产、生活中的一些实际问题，因此需要对角的概念进行推广。 　　通过这环节，学生明白了角的概念推广的必要性及重要意义。 　　学习完角的概念后，利用生活经验设计问题，调动学生的参与热情：(1) 请学生们说说， 生活中还有哪些与角的旋转相关的实例?(2) 以学生非常熟悉的时钟为研究对象。 　　问题2：若时间慢了 10 分钟， 则校对时间后，分针旋转形成的角为多少? 　　问题3：若时间快了 20 分钟， 则校对时间后，分针旋转形成的角为多少? 　　问题4：若以分针在3 点时刻为起始边， 旋转150°后， 角的终边在什么位置? 　　问题5：在问题4 的基础上， 再旋转-60°后，角的终边在什么位置? 　　问题6：情景中的直角、平角、周角是象限角吗？ 　　通过以学生的生活经验为基础，提出相关问题，使得学生的热情一下子被调动起来，回答也是多种多样。时间快慢的校准可以帮助学生进一步强化按逆时针方向旋转形成的是正角， 按顺时针方向旋转形成的是负角。另一方面， 旋转要确定起始边和终边。 为了研究问题的方便， 我们引人平面直角坐标系， 将角的顶点放在坐标原点， 起始边放在x 轴正半轴上，从而终边( 除顶点外) 在哪个象限， 就称这个角为第几象限角， 终边落在坐标轴上的角称为轴线界限角。       二、诱导公式口诀化   　　三角函数是初等数学的重要组成部分，而三角函数的诱导公式是三角函数的基础内容之一，也是本章节的重点内容。要学习和记忆公式如果没有适当的方法，就不可能达到理想的教学效果，也就无法应用公式进行正确的求解计算。 　　特别是随着公式应用的深入，学生遇到了这样的习题：求解算式cos（-15π4）的值。按照传统的解题思路，求解算式cos（-15π4）须经以下四步：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~2π的三角函数→0~π的三角函数→锐角的三角函数，即首先用诱导公式cos(-α)=cosα将cos（-15π4）化为cos15π4，再利用诱导公式cos（α+k·360°）=cosα将cos15π4化为cos7π4，接着利用诱导公式cos（180°+α）=-cosα将cos7π4化为-cos3π4，最后利用诱导公式cos（180°-α）=-cosα将-cos3π4化为cosπ4计算求值。如此繁琐的求值过程对于基础薄弱，思维不够活跃的中职生来说非常难。比如第一步将cos（-15π4）化为cos15π4，学生就无法理解。因为在推导三角函数诱导公式时，教师往往将诱导公式中的α设为锐角进行讲解，而后将它推广到任意角，但学生在学习过程中往往先入为主，只记住推导中将α设为锐角，故对上述问题中的将cos（-15π4）化为cos15π4提出疑问：“cos（-15π4）中的-15π4明明不是锐角，为什么能用-α的诱导公式进行求解呢？ ”于是学生开始质疑公式，思维也混乱不清，更别说解决问题。 　　如何解决这一难题，使学生更有效的掌握诱导公式呢？经过笔者多年的教学经验总结，在教学中可将诱导公式所有类型归纳为kπ2±α型，此诱导公式类型可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆。在教学中，教师可重点给学生详细讲解：“变”与“不变”是相对处于互余关系的函数而言的，sinα与cosα互余、tanα与cotα互余。“奇”、“偶”是对诱导公式kπ2±α中的整数k来讲的。“象限”指kπ2±α中，将α看作锐角时，kπ2±α所在象限。“符号”这里是指诱导公式右边三角函数名前的符号，此符号的正负情况是根据口诀“一全正，二正弦，三两切，四余弦”（第一象限所有三角函数都是正的；第二象限正弦是正的；第三象限正切、余切是正的；第四象限余弦是正的，其他都是负的）来确定，同时教师还需要向同学们强调口诀中的三角函数名指的是诱导公式左边的三角函数名，切不可误看成右边的三角函数名。 　　以文中前面提到的cos（-15π4）的求值为例，对口诀作出阐释。首先，把cos（-15π4）书写成cos（（-8）π2+π4），确定了k=-8是偶数，α=π4，并判断出角（（-8）π2+π4）是第一象限角；然后，依据口诀中的“偶不变，一全正”，可得出式子cos（-15π4）=cos（π4）。显然，利用诱导公式的口诀可以大大简化一些三角函数求值的运算过程，同时也缩减了公式的记忆量，对中职学生三角函数章节内容的学习及掌握起到显著作用。
　　三、函数性质图形化   　　三角函数的图象和性质分别从“形”和“数”不同的侧面反映出三角函数的变换规律。由于传统的教学绘制三角函数图像显得比较繁琐，因此部分教师忽视三角函数图形画法的教学，对函数图像的由来轻描淡写的，整个教学过程都是（下转第97页）偏重于三角函数性质表格化的死记。再加上平时测验、中职高考都无单独绘制三角函数图像的题型，给学生造成了一个错误的意识：图像不重要，表格要记牢！这种轻“形”重“数”的思想，使得中职学生在学习三角函数这一章节内容时，感觉除了背书外就是死记，毫无激情与情趣。随着学习的逐步深入，需要记忆的内容越来越多，数学基础薄弱的中职学生们就感觉记忆起来非常吃力，到最后不得不放弃三角函数这一章节内容的学习。 　　如何能把“闻”三角色变的学生拉入“三角”的世界中？笔者认为，在教学上，教师应当从学生角度考虑，对“形”这一知识模块要重视，要采取更为高效的教学手段。首先，可带领学生去多媒体机房，借助“几何画板”数学软件，在信息技术平台上给学生演示三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx在一个周期内的图像，并详细讲解“五点法”在绘制图像时的重要性及对函数性质的意义。其次，指引学生自己动手通过计算机软件把三角函数的图像由一个周期扩展到多个周期，对扩展后得到图像进行观察，教师从中引导学生探索归纳出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期等三角函数的性质。最后，把学生归纳出来的性质表格化，并强调性质的结论源于图像的总结，使学生明白三角函数图像对于性质的记忆是十分重要的，努力培养看图记忆的良好习惯。 　　通过这样的“图形化”教学方法，把“形”与“数”更有效的结合在一起，使得中职学生在学习三角函数的过程中增添了不少实践活动，也让他们从中感到绘图的乐趣，在欢快的氛围中逐渐掌握三角函数性质这一节内容，大大提高了三角函数性质记忆的效果。   　　参考文献： 　　［1］易存新.集体智慧解决高中新教材中的教学困难——记《任意角三角函数》概念课的课前研究活动［J］.教育科学论坛，2011(04). 　　［2］覃桂燕.几何画板在三角函数教学中的应用［J］.广西教育学院学报，2011(01). 　　［3］龚亮亮.“任意角的三角函数”教学设计［J］.中国教育技术装备，2011(16). 　　［4］许晓岚.浅谈三角函数的教学技巧［J］.教育教学论坛，2010(35).